C# · 12月 20, 2021

C++ 浅谈平行四边形不等式优化DP

前言

在一些DP中,三重的循环容易造成超时,那么又什么方法来优化呢?

当然有,有一种叫做平行四边形不等式的玩意优化DP

平行四边形不等式

如果有两个区间满足 f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d],那么这个东东就是平行四边形不等式

可以这样理解,交叉或包含的两个区间,a到c和b到d的值满足小于等于包含的两个区间(bc包含于ad)

还有就是决策单调性 

     w[i,j]<=w[i',j']   ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'

平行四边形不等式的性质

这玩意儿有什么性质,对边互相平行?

非也,这玩意儿有两个性质

定义一个 动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ],f[ i – 1 ][ k ] + w[ k – 1 ][ j ] ) 

一. 如果w满足决策单调性 ​​​​且满足平行四边形不等式那么 f 也满足四边形不等式

二. 当定理一的条件满足时,让d[i,j]取最小值的k为K[i,j],则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j] 

三. w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1] 

(后两条我也不懂)

DP优化

有一动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ],f[ i – 1 ][ k ] + w[ k – 1 ][ j ] ) ,满足平行四边形不等式,那么其决策性s[ i ] [ j ] 满足

s[ i – 1 ][ j ] <= s[ i ][ j ] <= s[ i ][ j  + 1 ],这样就可以约束 k (只用从s[ i – 1 ][ j ] 循环到s[ i ][ j  + 1 ] ,因为其最优决策性必定在这当中),减少 k 的循环次数,从而减少一重循环。