C# · 12月 20, 2021

树的知识点总结-数据结构

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一:树的基本术语

1.定义

树是一种非线性结构,只有一个根结点,除根结点外每个孩子结点可以有多个后继,没有后继的结点叫叶子结点。

2.概念

根结点:没有前驱;

孩子:有前驱的结点;

双亲结点:孩子结点的前驱;

叶子:没有孩子结点

结点度:结点的分支数;

树的度:一棵树中最大结点度数;

树的深度:树的层次数目;

有序树:结点的子树从左到右有顺序;

森林:多棵互不相交的树的集合;

3.二叉树

**特点:特殊的树,每个结点最多有两棵子树,有左右顺序之分。

性质:

1.第i层上最多2^(i-1)个结点,最少0个;

2.深度k,最多2^k-1个结点,最少k个结点;

3.对于二叉树,终端结点(叶子结点)数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1;

4.总结点数n,分支数B,则n=B+1,n=n0+n1+n2,B=n1+2*n2;

5.具有n个结点的完全二叉树的深度:[log2^n]+1;

二叉树的存储结构:

对于非线性结构,顺序二叉树仅适用于完全二叉树,所有在这采用链式存储。

以下为二叉树的链式存储及基本操作

包含三种递归遍历。

#define CHAR /* 字符型 */

/* #define INT /* 整型(二者选一) */

#include

#include

#include /* malloc()等 */

#include /* INT_MAX等 */

#include /* EOF(=^Z或F6),NULL */

#include /* atoi() */

#include /* eof() */

#include /* floor(),ceil(),abs() */

#include /* exit() */

/* 函数结果状态代码 */

#define TRUE 1

#define FALSE 0

#define OK 1

#define ERROR 0

#define INFEASIBLE -1

typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */

typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */

#ifdef CHAR

typedef char TElemType;

TElemType Nil=’ ‘; /* 字符型以空格符为空 */

#endif

#ifdef INT

typedef int TElemType;

TElemType Nil=0; /* 整型以0为空 */

#endif

/* c6-2.h 二叉树的二叉链表存储表示 */

typedef struct BiTNode

{

TElemType data;

struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */

}BiTNode,*BiTree;

Status InitBiTree(BiTree *T)

{ /* 操作结果: 构造空二叉树T */

*T=NULL;

return OK;

}

void CreateBiTree(BiTree *T)

{ /* 算法6.4:按先序次序输入二叉树中结点的值(可为字符型或整型,在主程中 */

/* 定义),构造二叉链表表示的二叉树T。变量Nil表示空(子)树。有改动 */

TElemType ch;

#ifdef CHAR

scanf(“%c”,&ch);

#endif

#ifdef INT

scanf(“%d”,&ch);

#endif

if(ch==Nil) /* 空 */

*T=NULL;

else

{

*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));

if(!*T)

exit(OVERFLOW);

(*T)->data=ch; /* 生成根结点 */

CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */

CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */

}

}

Status BiTreeEmpty(BiTree T)

{ /* 初始条件: 二叉树T存在 */

/* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */

if(T)

return FALSE;

else

return TRUE;

}

#define ClearBiTree DestroyBiTree

int BiTreeDepth(BiTree T)

{ /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */

int i,j;

if(!T)

return 0;

if(T->lchild)

i=BiTreeDepth(T->lchild);

else

i=0;

if(T->rchild)

j=BiTreeDepth(T->rchild);

else

j=0;

return i>j?i+1:j+1;

}

TElemType Root(BiTree T)

{ /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的根 */

if(BiTreeEmpty(T))

return Nil;

else

return T->data;

}

void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))

{ /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数。算法6.1,有改动 */

/* 操作结果: 先序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */

if(T) /* T不空 */

{

Visit(T->data); /* 先访问根结点 */

PreOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 再先序遍历左子树 */

PreOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后先序遍历右子树 */

}

}

void InOrderTraverse(BiTree T,Visit是对结点操作的应用函数 */

/* 操作结果: 中序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */

if(T)

{

InOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先中序遍历左子树 */

Visit(T->data); /* 再访问根结点 */

InOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后中序遍历右子树 */

}

}

void PostOrderTraverse(BiTree T,Visit是对结点操作的应用函数 */

/* 操作结果: 后序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */

if(T) /* T不空 */

{

PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍历左子树 */

PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍历右子树 */

Visit(T->data); /* 最后访问根结点 */

}

}

Status visitT(TElemType e)

{

#ifdef CHAR

printf(“%c “,e);

#endif

#ifdef INT

printf(“%d “,e);

#endif

return OK;

}

void main()

{

int i;

BiTree T,p,c;

TElemType e1,e2;

InitBiTree(&T);

printf(“构造空二叉树后,树空否?%d(1:是 0:否) 树的深度=%dn”,BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));

e1=Root(T);

if(e1!=Nil)

#ifdef CHAR

printf(“二叉树的根为: %cn”,e1);

#endif

#ifdef INT

printf(“二叉树的根为: %dn”,e1);

#endif

else

printf(“树空,无根n”);

#ifdef CHAR

printf(“请先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)n”);

#endif

#ifdef INT

printf(“请先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)n”);

#endif

CreateBiTree(&T);

printf(“建立二叉树后,e1);

#endif

else

printf(“树空,无根n”);

printf(“先序递归遍历二叉树:n”);

PreOrderTraverse(T,visitT);

printf(“n”);

printf(“中序递归遍历二叉树:n”);

InOrderTraverse(T,visitT);

printf(“n”);

printf(“后序递归遍历二叉树:n”);

PostOrderTraverse(T,visitT);

}

4.线索二叉树

特征:LTag=0:lchild域指示结点的左孩子

———LTag=1:lchild域指示结点的前驱

———RTag=0:lchild域指示结点的右孩子

———RTag=1:lchild域指示结点的后继

以这种结点结构构成的二叉树链表作为二叉树的存储结构,叫做线索链表,其中指向前驱和后继的指针叫做线索,加上线索的二叉树叫线索二叉树。

5.树、二叉树、森林之间的转换

1.树和二叉树:

树转化成二叉树:1.加线:兄弟相连;2.抹线:长兄为父;3.旋转:顺时针旋转90度;

二叉树转化树:过程相反。

2. 把如图所示的树转化成二叉树。

2.森林转化成二叉树:

先把每棵树转换成二叉树,把第二棵树根结点当作第一棵树的兄弟,依次这样操作。

3.二叉树转化成森林:

二叉树的根结点的右孩子必是森林,孩子结点的右子树为兄弟。

6.赫夫曼树应用

定义:又称最优树,是一类带权值最短路径的树。

路径长度:树中一个结点到另一个结点的分支数之和。

带权路径长度:各分支数与上面的权值乘积之和。 树的带权路径长度:WPL

最优二叉树或赫夫曼树:WPL最小的树。

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详细问题请浏览本人其它博客,谢谢关注

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