C# · 12月 20, 2021

数据结构和算法(4)—–算法的时间复杂度和空间复杂度

1.算法的时间复杂度定义

 在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度。记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。其中,f(n)是问题规模n的某个函数。

    这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大0记法。

2.推导大O阶方法

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。

如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

3.推导示例

3.1常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法,是利用高斯定理计算1,2,……n个数的和。

int sum = 0,n = 100; /*执行一次*/

sum = (1 + n) * n / 2; /*执行一次*/

printf(“%d”,sum); /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f (n)  =3。 根据我们推导大0阶的方法,第一步就是把常数项3 改为1。在保留最高阶项时发现,它根本没有最高阶项,所以这个算法的时间复杂度为0(1)。

     另外,我们试想一下,如果这个算法当中的语句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句,则与示例给出的代码就是3次和12次的差异。这种与问题的大小无关(n的多少),执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。对于分支结构而言,无论是真,还是假,执行的次数都是恒定的,不会随着n 的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度也是0(1)。

3.2线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。

    下面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n), 因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;

for(i = 0; i < n; i++){

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

3.3对数阶

    如下代码:

int count = 1;

while (count < n){

count = count * 2;

  /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

由于每次count乘以2之后,就距离n更近了一分。 也就是说,有多少个2相乘后大于n,则会退出循环。 由2^x=n 得到x=logn。 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

3.4平方阶

    下面例子是一个循环嵌套,它的内循环刚才我们已经分析过,时间复杂度为O(n)。

int i,j;

for(i = 0; i < n; i++){

for(j = 0; j < n; j++){

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

而对于外层的循环,不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句,再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

    如果外循环的循环次数改为了m,时间复杂度就变为O(mXn)。

    所以我们可以总结得出,循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

    那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?

int i,j;

for(i = 0; i < n; i++){

for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

  由于当i=0时,内循环执行了n次,当i = 1时,执行了n-1次,……当i=n-1时,执行了1次。所以总的执行次数为:

                                                   

 用我们推导大O阶的方法,第一条,没有加法常数不予考虑;第二条,只保留最高阶项,因此保留时(n^2)/2; 第三条,去除这个项相乘的常数,也就是去除1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。

    从这个例子,我们也可以得到一个经验,其实理解大0推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力。

3.5立方阶

    下面例子是一个三重循环嵌套。

int i,j;

for(i = 1; i < n; i++)

for(j = 1; j < n; j++)

for(j = 1; j < n; j++){

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

这里循环了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次,按照上述大O阶推导方法,时间复杂度为O(n^3)。

4.常见的时间复杂度

                                                      

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:

    复杂度与时间效率的关系:  

             

5.最坏情况与平均情况

   我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字,最好的情况是第一个数字就是,那么算法的时间复杂度为O(1),但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着,那么算法的时间复杂度就是O(n),这是最坏的一种情况了。

    最坏情况运行时间是一种保证,那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中,这是一种最重要的需求, 通常, 除非特别指定, 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

    而平均运行时间也就是从概率的角度看, 这个数字在每一个位置的可能性是相同的,所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。也就是说,我们运行一段程序代码时,是希望看到平均运行时间的。可现实中,平均运行时间很难通过分析得到,一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下,都是指最坏时间复杂度。

6.算法空间复杂度

  我们在写代码时,完全可以用空间来换取时间,比如说,要判断某某年是不是闰年,你可能会花一点心思写了一个算法,而且由于是一个算法,也就意味着,每次给一个年份,都是要通过计算得到是否是闰年的结果。 还有另一个办法就是,事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点),然后把所有的年份按下标的数字对应,如果是闰年,此数组项的值就是1,如果不是值为0。这样,所谓的判断某一年是否是闰年,就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时,我们的运算是最小化了,但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好,其实要看你用在什么地方。

    算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)= O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

    一般情况下,一个程序在机器上执行时,除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外,还需要存储对数据操作的存储单元,若输入数据所占空间只取决于问题本身,和算法无关,这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数,则称此算法为原地工作,空间复杂度为0(1)。

     通常, 我们都使用”时间复杂度”来指运行时间的需求,使用”空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用”复杂度’时,通常都是指时间复杂度。